Με ψητά ντοματίνια και μελωμένα κρεμμύδια Εκτέλεση: Βάζουμε τη φάβα σε ένα σουρωτήρι και την ξεπλένουμε καλά με κρύο νερό. Την αδειάζουμε σε μια κατσαρόλα, ρίχνουμε 850 ml νερό και βράζουμε σε δυνατή φωτιά για περίπου 5 λεπτά, μέχρι να αρχίσουν τα υγρά να κοχλάζουν. Χαμηλώνουμε τη φωτιά και ξαφρίζουμε τη φάβα με μια τρυπητή κουτάλα για περίπου 5 - 10 λεπτά, μέχρι να σταματήσει να βγαίνει αφρός. Ρίχνουμε το καρότο και το κρεμμύδι, σκεπάζουμε την κατσαρόλα με το καπάκι και σιγοβράζουμε για 50 - 60 λεπτά, μέχρι η φάβα να χυλώσει και να απορροφήσει όλο το νερό. Αποσύρουμε από τη φωτιά και αφαιρούμε το καρότο και το κρεμμύδι. Ρίχνουμε στη φάβα αλατοπίπερο, το λάδι και το χυμό και ανακατεύουμε με μια ξύλινη κουτάλα μέχρι να γίνει σαν πουρές. Αν θέλουμε πιο λείο και βελούδινο αποτέλεσμα, χτυπάμε τη φάβα με ένα ραβδομπλέντερ ή στον πολυκόφτη που διαθέτουμε. Προθερμαίνουμε το φούρνο στους 120° C και στρώνουμε με λαδόκολλα ένα μέτριο ταψί. Σε ένα μπολ ανακατεύουμε 250 γρ. ντοματάκια, κομμένα στη μέση, με 2 κουτ. γλυκού καστανή ζάχαρη, 3 σκελίδες σκόρδου, ολόκληρες, 2 κουτ.σούπας ξίδι βαλσαμικό, 1 κουτ. γλυκού ρίγανη ξερή, τριμμένη, αλάτι και φρεσκοτριμμένο πιπέρι. Αδειάζουμε στο ταψί και τα απλώνουμε σε μία στρώση. Ψήνουμε για περίπου 40 λεπτά, μέχρι να μαλακώσουν και να μελώσουν. Ξεφουρνίζουμε και αφαιρούμε τα σκόρδα. Σε ένα τηγάνι σοτάρουμε 3 μέτρια ξερά κρεμμύδια, σε λεπτές φέτες, αλάτι, 1/4 κουτ. γλυκού κανέλα σε σκόνη και 90 ml ελαιόλαδο σε χαμηλή φωτιά για περίπου 30 λεπτά, μέχρι να μαλακώσουν και να μελώσουν. Αδειάζουμε τη φάβα σε πιατέλα, σκορπίζουμε τα ψητά ντοματίνια, τα μελωμένα κρεμμύδια και σερβίρουμε.